组合数的奇偶判定

在之前做过的题目里面，出现了很多关于杨辉三角的题目，很多时候都会联系到组合数的性质看。这里就来说明如何判断组合数的奇偶并证明。
我们知道组合数可以表示为$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
现在假设$n!,m!,(n-m)!的2的因子个数分别为A,B,C$。
显然组合数为奇数当且仅当A=B+C。
那a和n!到底有什么关系呢？
其实，对于一个质数p，它在n!的因子个数是

$$\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^3}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^4}\rfloor+......$$

因此对于$n!$来说它2的因子个数(用$f(n)$表示)就是

$$f(n)=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{2^{2}}\rfloor+\lfloor\frac{n}{2^3}\rfloor+\lfloor\frac{n}{2^4}\rfloor+......$$

然后对于n来说，它可以表示为$$n=(a_12^0)+(a_2*21)+(a_32^2)+…$$
知道这个之后我们可以把$f(n)$的每一项再进一步化简(下面的$k$为n的二进制位数)

$$f(n)=\sum_{y=1}^k\lfloor\frac{(a_1*2^0)+(a_2*2^1)+...+(a_k*2^{k-1})}{2^y}\rfloor$$

$$=\sum_{y=1}^k\frac{(a_{y+1}*2^{y})+...+(a_k*2^{k-1})}{2^y}$$

$$=\sum_{y=1}^k\sum_{x=y+1}^k\frac{a_x*2^{x-1}}{2^y}$$

$$=\sum_{x=1}^ka_x\sum_{y=0}^{x-2}{2^y}$$

$$=\sum_{x=1}^ka_x*(2^{x-1}-1)$$

$$=\sum_{x=1}^k{a_x*2^{x-1}}-\sum_{x=1}^k{a_x}$$

$$=n-\sum_{x=1}^k{a_x}$$

化简之后我们在观察等式后面的求和发现

$$n在二进制下1的个数=\sum_{x=1}^k{a_x}$$

因此$n!$在二进制下2因子的个数等于n减去其二进制下1的个数。
而组合数为奇数当且仅当A=B+C
而n,m,(n-m)在二进制下1的数目分别为a,b,c
所以

$$n-a=m-b+(n-m)-c$$

$$a=b+c$$

而要这个条件满足显然当且仅当

$$n\&m==m$$

Q.E.D.